微分方程描述一个量与其变化率之间的关系。求解时，先识别方程类型，再通过积分或试探解找到函数，最后利用初始条件、边界条件确定其中的常数。

本文整理常用方法，配以简短推导和例题。记 \(\dot y=dy/dt\)、\(\ddot y=d^2y/dt^2\)；\(C,C_1,C_2\) 表示任意常数，不同题目中的常数彼此无关。

方法速查

方程形式	方法	解的特点或应用
\(y'=f(x)\)	直接积分	由变化率求原函数
\(y'=f(x)g(y)\)	分离变量	指数增长、衰减
\(y'+P(x)y=Q(x)\)	积分因子法	一阶线性方程
\(\ddot y+\omega_0^2y=0\)	三角函数解或特征方程	简谐振动
\(\ddot y+a\dot y+by=0\)	特征方程	阻尼振动等
\(\ddot y+a\dot y+by=f(t)\)	齐次通解加特解	受迫振动
\(\partial_t^2u=v^2\partial_x^2u\)	行波形式、分离变量	波的传播与驻波

一阶方程的通解通常含一个任意常数，二阶方程通常含两个。除以可能为零的表达式时要检查漏解，含分母、对数时要注意定义区间。

直接积分

基本方法

若

\frac{dy}{dx}=f(x),

则

\boxed{y=\int f(x)\,dx+C}.

若给定 \(y(x_0)=y_0\)，也可以直接写为

\boxed{y(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(s)\,ds}.

如果已知二阶导数，就连续积分两次。

例：恒定加速度

已知 \(\ddot x=a_0\)，且 \(x(0)=x_0\)、\(\dot x(0)=v_0\)。

第一次积分：

\dot x=v_0+a_0t.

第二次积分：

\boxed{x(t)=x_0+v_0t+\frac12a_0t^2}.

注意：只有当右端是已知的自变量函数时，才能这样直接积分。若右端仍含未知的 \(x(t)\)，通常需要其他方法。

分离变量

基本方法

对于

\frac{dy}{dx}=f(x)g(y),

在 \(g(y)\ne0\) 的区间上分离变量：

\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx.

两边积分：

\boxed{\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx+C}.

此外，先检查 \(g(y)=0\) 对应的常值函数是否也是解。

例一：指数衰减

求解

\frac{dN}{dt}=-\lambda N,\qquad N(0)=N_0>0,\quad \lambda>0.

分离并积分：

\frac{dN}{N}=-\lambda\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{N}{N_0}=-\lambda t.

因此

\boxed{N(t)=N_0e^{-\lambda t}}.

若初值为零，还有零解；最终表达式也包含它。

放射性衰变的宏观统计规律就是这一形式。令 \(N(t_{1/2})=N_0/2\)，可得半衰期

\boxed{t_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}}.

例二：趋向平衡

求解

\frac{dT}{dt}=-\alpha(T-T_{\mathrm e}),

其中 \(\alpha>0\)、\(T_{\mathrm e}\) 均为常数。

令 \(\theta=T-T_{\mathrm e}\)，则

\frac{d\theta}{dt}=-\alpha\theta.

因此，在 \(T(0)=T_0\) 时，

\boxed{T(t)=T_{\mathrm e}+(T_0-T_{\mathrm e})e^{-\alpha t}}.

这说明：与平衡值的偏差按指数衰减。牛顿冷却定律在适用的近似条件下就是这个模型。

例三：两个状态量之间的关系

若

\frac{dT}{T}=-(\gamma-1)\frac{dV}{V},

其中 \(T,V>0\)、\(\gamma\) 为常数，则

\ln\frac{T}{T_0}=-(\gamma-1)\ln\frac{V}{V_0},

所以

\boxed{TV^{\gamma-1}=T_0V_0^{\gamma-1}}.

例如，定比热理想气体的可逆绝热过程满足这一关系，其中 \(\gamma=C_{p,m}/C_{V,m}\)。结合 \(pV=nRT\)，还能得到 \(pV^\gamma=\text{常数}\)。这些关系不能直接用于任意不可逆绝热过程。

一阶线性方程

标准形式与积分因子

标准形式为

$$ y'+P(x)y=Q(x). $$

取积分因子

\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.

原方程乘以 \(\mu\) 后，左边恰好是乘积的导数：

(\mu y)'=\mu Q.

积分得到

\boxed{y=\frac1{\mu(x)}\left[\int\mu(x)Q(x)\,dx+C\right]}.

积分因子中的原函数任选一个即可，不必再加额外的任意常数。

例题

求解

y'+2y=6,\qquad y(0)=1.

取 \(\mu=e^{2x}\)，于是

(e^{2x}y)'=6e^{2x}.

积分得

y=3+Ce^{-2x}.

由 \(y(0)=1\) 得 \(C=-2\)，所以

\boxed{y=3-2e^{-2x}}.

对于常系数形式 \(\dot y+ay=b\)，若 \(a>0\)，也可以直接先找平衡值 \(y_{\mathrm{eq}}=b/a\)，再写出

\boxed{y(t)=\frac ba+\left(y_0-\frac ba\right)e^{-at}}.

二阶常系数齐次线性方程

特征方程法

对于

ay''+by'+cy=0,\qquad a\ne0,

试探 \(y=e^{rx}\)。代入并约去 \(e^{rx}\)，得到

\boxed{ar^2+br+c=0}.

这称为特征方程。根据根的类型写出通解：

特征根	通解
不同实根 \(r_1,r_2\)	\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
二重实根 \(r\)	\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)
共轭复根 \(\alpha\pm i\beta\)，\(\beta>0\)	\(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)

例题

方程

$$ y''-3y'+2y=0 $$

的特征方程为

$$ r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0, $$

因此

\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}}.

特别要分清下面两种符号：

y''+\omega^2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=C_1\cos\omega x+C_2\sin\omega x;

y''-\omega^2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=C_1e^{\omega x}+C_2e^{-\omega x},

其中 \(\omega>0\)。前者是振荡型，后者是实指数型。

简谐振动

从方程到通解

弹簧振子以平衡位置为原点时，有

m\ddot x=-kx.

令 \(\omega_0=\sqrt{k/m}\)，整理为

\ddot x+\omega_0^2x=0.

它的解为

x=C_1\cos\omega_0t+C_2\sin\omega_0t.

若 \(x(0)=x_0\)、\(\dot x(0)=v_0\)，则

\boxed{x(t)=x_0\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t}.

振幅与初相位

也可以写成

x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi),

其中

\boxed{A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}},

A\cos\varphi=x_0,\qquad -A\omega_0\sin\varphi=v_0.

确定初相位时要检查象限；若 \(A=0\)，初相位没有实际意义。周期为

\boxed{T=\frac{2\pi}{\omega_0}}.

同样地，小角度单摆满足

\ddot\theta+\frac g\ell\theta=0,

所以 \(\omega_0=\sqrt{g/\ell}\)。这里用到了 \(\sin\theta\approx\theta\)，角度取弧度。

阻尼振动

当阻力与速度成正比时，

m\ddot x+b\dot x+kx=0,\qquad b>0.

定义

\gamma=\frac{b}{2m},\qquad \omega_0=\sqrt{\frac km},

得到

\ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x=0.

其特征根为

r=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}.

欠阻尼：\(0<\gamma<\omega_0\)

令 \(\omega_{\mathrm d}=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\)，则

\boxed{x=Ae^{-\gamma t}\cos(\omega_{\mathrm d}t+\varphi)}.

振幅包络按 \(e^{-\gamma t}\) 衰减，振动角频率为 \(\omega_{\mathrm d}\)。

如果要直接代入初始条件，可用

x=e^{-\gamma t}\left[ x_0\cos\omega_{\mathrm d}t+ \frac{v_0+\gamma x_0}{\omega_{\mathrm d}}\sin\omega_{\mathrm d}t \right].

临界阻尼：\(\gamma=\omega_0\)

特征根重复，因此

\boxed{x=(C_1+C_2t)e^{-\gamma t}}.

过阻尼：\(\gamma>\omega_0\)

有两个不同的负实根 \(r_1,r_2\)，因此

\boxed{x=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}}.

临界阻尼和过阻尼都没有持续的往复振荡，但是否穿过平衡位置仍取决于初始条件。

非齐次方程与受迫振动

解的结构

对于线性非齐次方程

$$ ay''+by'+cy=f(x), $$

总解为

\boxed{y=y_{\mathrm h}+y_{\mathrm p}},

其中 \(y_{\mathrm h}\) 是对应齐次方程的通解，\(y_{\mathrm p}\) 是非齐次方程的任意一个特解。

待定系数法

右端形式简单时，可以先猜特解形式，再代入求系数。

右端	常用试探形式（无共振时）
常数 \(K\)	\(A\)
一次多项式 \(px+q\)	\(Ax+B\)
\(Ke^{\lambda x}\)	\(Ae^{\lambda x}\)
\(K\cos\omega x\) 或 \(K\sin\omega x\)	\(A\cos\omega x+B\sin\omega x\)

如果试探式与齐次解重复，就要乘以 \(x\)；对应特征根是二重根时乘以 \(x^2\)。自变量若为 \(t\)，相应乘以 \(t\) 或 \(t^2\)。

例如

$$ y''+y=2 $$

可以取特解 \(y_{\mathrm p}=2\)，所以

\boxed{y=C_1\cos x+C_2\sin x+2}.

受迫振动的稳态解

对于

m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos\Omega t,

试探

x_{\mathrm p}=a\cos\Omega t+c\sin\Omega t.

代入并比较正弦、余弦系数：

\begin{cases} (k-m\Omega^2)a+b\Omega c=F_0,\\ (k-m\Omega^2)c-b\Omega a=0. \end{cases}

解出系数后，写成

x_{\mathrm p}=A(\Omega)\cos(\Omega t-\delta).

对于 \(F_0>0\)、\(b>0\)、\(\Omega>0\)，振幅为

\boxed{A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}}}.

记分母为 \(D\)，相位可由

\cos\delta=\frac{k-m\Omega^2}{D},\qquad \sin\delta=\frac{b\Omega}{D}

确定，这样不会丢失象限。

完整解还要加上自由振动部分。存在正阻尼时，自由部分随时间衰减，最终只剩稳态受迫振动，其频率与外力相同。

无阻尼共振

当 \(b=0\) 且 \(\Omega=\omega_0=\sqrt{k/m}\) 时，普通正弦试探式与齐次解重复，需要乘以 \(t\)。一个特解为

\boxed{x_{\mathrm p}=\frac{F_0}{2m\omega_0}t\sin\omega_0t}.

这个理想模型的振幅随时间增长。有阻尼时稳态振幅有限；弱阻尼下，位移振幅峰值出现在固有频率附近。

波动方程的基本解法

行波形式

一维波动方程为

\boxed{\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =v^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}},

其中 \(u(x,t)\) 同时依赖位置和时间，\(v\) 为常数波速。

其行波解形式为

\boxed{u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)},

其中 \(f,g\) 是足够光滑的函数，由初始条件和边界条件决定。

\(f(x-vt)\) 向 \(+x\) 方向传播。
\(g(x+vt)\) 向 \(-x\) 方向传播。

判断方向时，令波形中的同一点满足 \(x-vt=\text{常数}\)，便得到 \(x=vt+\text{常数}\)，即向右移动。

简谐行波

u=A\cos(kx-\omega t+\varphi)

代入方程后，得到

\boxed{\omega=vk},\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega=2\pi f.

本节的 \(k\) 是波数，不是弹簧劲度系数。波速也不等于介质质点的振动速度 \(\partial u/\partial t\)。

分离变量：两端固定的弦

设弦长为 \(L\)，边界条件为

$$ u(0,t)=u(L,t)=0. $$

尝试乘积形式

$$ u(x,t)=X(x)q(t). $$

代入波动方程后，有

$$ Xq''=v^2X''q. $$

在可以相除的区域上，

\frac{q''}{v^2q}=\frac{X''}{X}.

两边分别只依赖 \(t\) 和 \(x\)，因此等于同一个常数。对于此边界条件下的非零振动模式，取常数为 \(-k^2\)：

X''+k^2X=0,\qquad q''+(vk)^2q=0.

两个方程都变成了熟悉的简谐型方程。

由 \(X(0)=0\) 得 \(X=B\sin kx\)，再由 \(X(L)=0\) 得

k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\ldots

所以

\boxed{\omega_n=\frac{n\pi v}{L}},\qquad \boxed{f_n=\frac{nv}{2L}}.

每个驻波模式可写为

u_n(x,t)=A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_nt+\varphi_n).

一个乘积解只代表一个模式，一般振动可以由多个模式叠加。这里最重要的思想是：方程决定解的形式，边界条件筛选允许的频率。

简单波函数方程

一维定态薛定谔方程为

-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V(x)\psi=E\psi.

在势能为常数 \(V_0\) 的区域内，它也可以化成熟悉的二阶方程。

条件	方程	解的形式
\(E>V_0\)	\(\psi''+k^2\psi=0\)，\(k=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar\)	\(\psi=A\cos kx+B\sin kx\)
\(E<V_0\)	\(\psi''-\kappa^2\psi=0\)，\(\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar\)	\(\psi=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}\)
\(E=V_0\)	\(\psi''=0\)	\(\psi=A+Bx\)

波函数的系数可以是复数。保留哪些解要看边界与匹配条件，不能一看到增长指数项就删掉；有限宽势垒内部通常需要同时保留两项。

例：一维无限深势阱

设阱内区域为 \(0<x<L\)、势能为零，边界条件为

\psi(0)=\psi(L)=0.

由 \(\psi=A\cos kx+B\sin kx\)，先得 \(A=0\)，再得

k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\ldots

因此允许的能量为

\boxed{E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m} =\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}}.

由归一化条件 \(\int_0^L|\psi_n|^2\,dx=1\)，可选取阱内波函数

\boxed{\psi_n(x)=\sqrt{\frac2L}\sin\frac{n\pi x}{L}}.

它与固定弦驻波的数学结构相似，但物理含义不同：波函数不是位移，\(|\psi|^2\) 表示概率密度。

解题检查清单

方程是否来自正确的物理关系？ 先明确变量、正方向与模型假设。
是否选了合适的方法？ 能分离变量就先分离；二阶常系数线性方程优先用特征方程。
是否包含全部需要的解？ 检查除法造成的漏解、重根中的 \(x\) 或 \(t\)、非齐次方程中的齐次部分。
是否满足初始条件和边界条件？ 求出函数后再代入检查。
量纲和极限是否合理？ 指数、对数和三角函数的自变量应无量纲；检查初始时刻及参数趋于零的情况。

简短练习

题目	答案
\(\dot y=-2y\)，\(y(0)=3\)	\(y=3e^{-2t}\)
\(\dot y+y=4\)，\(y(0)=0\)	\(y=4(1-e^{-t})\)
\(\ddot x+\omega_0^2x=0\)，\(x(0)=0\)、\(\dot x(0)=v_0\)	\(x=(v_0/\omega_0)\sin\omega_0t\)
\(\ddot x+6\dot x+25x=0\)	\(x=e^{-3t}(C_1\cos4t+C_2\sin4t)\)，为欠阻尼
\(y''-2y'+y=0\)	\(y=(C_1+C_2x)e^x\)
\(y''+y=1\)	\(y=C_1\cos x+C_2\sin x+1\)
长度 \(L\)、波速 \(v\) 的两端固定弦的基频	\(f_1=v/(2L)\)