大学物理笔记

大学物理复习笔记：刚体、相对论与电磁学

一、刚体转动与角动量

1. 冲量、质心与角动量

• “逆风行船”的关键不是风直接把船向前推，而是帆改变空气的动量；空气对帆的冲量具有横向和纵向分量，船体与水的相互作用抵消大部分横向运动，保留下来的纵向分量推动船沿预定方向前进。

• 对质点系，总质量为 \(m=\sum_i m_i\)，质心位置为

\vec r_c=\frac{\sum_i m_i\vec r_i}{\sum_i m_i};

对连续质量分布，

\vec r_c=\frac{1}{m}\int \vec r\,dm.

• 质点相对参考点 \(O\) 的角动量（动量矩）为

\vec L_O=\vec r\times m\vec v=\vec r\times\vec p.

• 角动量定理为

\frac{d\vec L_O}{dt}=\vec M_O=\vec r\times\vec F.

当外力矩为零时角动量守恒；常见情形包括 \(\vec r=0\)、\(\vec F=0\) 或 \(\vec r\) 与 \(\vec F\) 平行。

• 力矩决定角动量变化的快慢。角冲量与角动量增量满足

\vec M_O\,dt=d\vec L_O,\qquad \int_{t_1}^{t_2}\vec M_O\,dt=\vec L_{O2}-\vec L_{O1}.

• 对质点系，内力矩成对抵消，因此

\sum\vec M_{\text{外},O}=\frac{d\vec L_O}{dt};

在质心系中同样有 \(\vec M_{\text{外},C}=d\vec L_C/dt\)。

2. 角速度、力矩与转动定律

• 角速度矢量 \(\vec\omega\) 沿转轴，方向由右手螺旋定则确定；角加速度为

\vec\beta=\frac{d\vec\omega}{dt}.

定轴转动时可写成 \(\vec\omega=\omega\vec k\)、\(\vec\beta=(d\omega/dt)\vec k\)。

• 力矩是代数量：绕选定轴使刚体逆时针加速转动时取正，反之取负。其轴向分量可写成

M_z=F_\tau r=F_\perp h,

其中 \(h\) 是力臂。

• 刚体定轴转动的基本方程为

M=J\beta,

其中 \(M\) 是外力矩代数和，内力矩合计为零，\(J\) 是对该轴的转动惯量。

• 质点系与连续体对给定轴的转动惯量分别为

J=\sum_i m_i r_i^2,\qquad J=\int r^2\,dm.

• 常用结果：细圆环或薄圆柱壳 \(J=MR^2\)；圆盘或实心圆柱 \(J=\frac12MR^2\)；细杆绕中心垂直于杆的轴 \(J=\frac1{12}ML^2\)，绕端点垂直于杆的轴 \(J=\frac13ML^2\)；薄球壳 \(J=\frac23MR^2\)；实心球 \(J=\frac25MR^2\)。

• 平行轴定理：

$$ J_z=J_C+md^2, $$

其中 \(J_C\) 是过质心的平行轴转动惯量，\(d\) 是两轴间的垂直距离。

• 对薄板，若 \(x\)、\(y\) 轴在板内且相互垂直，\(z\) 轴垂直薄板，则垂直轴定理为

$$ J_z=J_x+J_y. $$

例如薄圆盘 \(J_z=\frac12mR^2\)，由对称性得到 \(J_x=J_y=\frac14mR^2\)。

3. 转动动能、功与能量

• 质点系动能定理为

A_{\text{外}}+A_{\text{内}}=E_k-E_{k0},\qquad E_k=\sum_i\frac12m_iv_i^2.

一对内力所做元功之和可按“其中一个内力乘两质点相对位移”计算。

• 刚体定轴转动时 \(v_i=r_i\omega\)，因此

E_k=\frac12J\omega^2.

形式上，平动中的 \(m\) 与 \(v\) 分别对应转动中的 \(J\) 与 \(\omega\)。

• 刚体从 \(\theta_1\) 转到 \(\theta_2\) 时，合外力矩做功为

A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}M\,d\theta.

各外力矩元功相加得到 \(dA=M\,d\theta\)。

• 定轴转动的动能定理为

\int_{\theta_0}^{\theta}M\,d\theta =\frac12J\omega^2-\frac12J\omega_0^2.

刚体内力总功为零，故刚体动能增量等于外力做功。

• 定轴转动刚体的机械能可写为

E=\frac12J\omega^2+mgh_C.

对包含刚体的完整系统，功—能原理与机械能守恒条件仍然适用。

• 平面平行运动可分解为质心平动与绕质心转动。由柯尼希定理，

E_k=\frac12mv_C^2+\frac12J_C\omega^2.

• 当转动惯量 \(J_z\) 为常量时，

M_z=J_z\frac{d\omega}{dt}.

• 刚体绕定轴转动时

L_z=J_z\omega,\qquad M_z=\frac{dL_z}{dt}=\frac{d}{dt}(J_z\omega).

• 当外力矩 \(M_z=0\) 时，\(L_z=J\omega\) 守恒。该结论也适用于形状发生变化的系统：若 \(J\) 改变，则 \(\omega\) 相应改变以保持 \(J\omega\) 不变。

• 陀螺的重力矩使角动量矢量发生侧向变化，从而产生进动。由

d\vec L=\vec M\,dt

并结合右手定则，可判断进动方向。

二、狭义相对论

1. 时间延缓与长度收缩

• 光钟在自身静止系中的往返时间为原时 \(\Delta t'\)。在观察到光钟以速度 \(u\) 运动的地面系中，光走斜线，由几何关系得到

\Delta t=\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-u^2/c^2}} =\gamma\Delta t', \qquad \gamma=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}},\quad \beta=\frac uc.

原时最短。

• 长度测量要求在同一参考系中同时记录物体两端的位置。沿运动方向有

l=l_0\sqrt{1-\beta^2}=\frac{l_0}{\gamma},

其中 \(l_0\) 是物体静止系测得的固有长度，因此固有长度最大。

2. 洛伦兹变换与事件间隔

坐标的物理含义： 洛伦兹变换处理的是同一个事件 \(P\)，例如一次闪光、碰撞或粒子经过某点。\(S\) 系用自己的坐标尺和一组已经同步的时钟记录该事件，得到 \((x,t)\)；\(S'\) 系用自己的坐标尺和同步时钟记录同一事件，得到 \((x',t')\)。

\(x\)：事件 \(P\) 相对 \(S\) 系原点 \(O\) 的空间坐标；\(t\)：事件在 \(S\) 系中的发生时刻。
\(x'\)：同一事件 \(P\) 相对 \(S'\) 系原点 \(O'\) 的空间坐标；\(t'\)：同一事件在 \(S'\) 系中的发生时刻。
\(x\) 与 \(x'\) 不是两个不同物体的位置，也不一定是两参考系原点的位置；它们只是两个参考系对同一事件给出的空间坐标。只有专门研究某个物体的运动时，才把该物体在不同时刻发生的一系列事件连成世界线。
检验例一：若事件发生在 \(S'\) 的原点 \(O'\) 上，则 \(x'=0\)，而 \(S\) 系给出的坐标满足 \(x=ut\)。
检验例二：若事件发生在 \(S\) 的原点 \(O\) 上，则 \(x=0\)，而 \(S'\) 系给出 \(x'=-\gamma ut=-ut'\)，表示 \(O\) 在 \(S'\) 中沿 \(-x'\) 方向运动。

• 若 \(S'\) 相对 \(S\) 沿 \(+x\) 方向以速度 \(u\) 运动，则

x'=\gamma(x-ut),\qquad t'=\gamma\left(t-\frac{ux}{c^2}\right),\qquad y'=y,\quad z'=z.

逆变换等价于交换撇号并令 \(u\to -u\)：

x=\gamma(x'+ut'),\qquad t=\gamma\left(t'+\frac{ux'}{c^2}\right).

正负号判定：

先约定 \(S'\) 的 \(x'\) 轴与 \(S\) 的 \(x\) 轴同向，并令两原点在 \(t=t'=0\) 时重合。
站在 \(S\) 系观察 \(S'\) 的原点 \(O'\)：若 \(O'\) 向 \(+x\) 方向运动，则 \(u>0\)；若向 \(-x\) 方向运动，则 \(u<0\)。也就是说，\(O'\) 在 \(S\) 中的轨迹永远写成 \(x_{O'}=ut\)。
从 \(S\) 变换到 \(S'\) 时始终使用 \(x'=\gamma(x-ut)\)。当 \(S'\) 向右运动时 \(u>0\)，括号中表现为减号；当 \(S'\) 向左运动时 \(u<0\)，公式自动变成 \(x'=\gamma(x+|u|t)\)。
从 \(S'\) 反变换到 \(S\) 时，\(S\) 相对 \(S'\) 的速度是 \(-u\)，因此把正变换中的 \(u\) 换成 \(-u\)，得到 \(x=\gamma(x'+ut')\)。这里的加号对应最初假设的 \(S'\) 相对 \(S\) 向右运动。
快速自检：把 \(O'\) 的坐标 \(x'=0\) 代入正变换，必须还原出 \(x=ut\)；若得不到，说明速度方向或符号用反了。

• 对两个事件，

\Delta x'=\gamma(\Delta x-u\Delta t),\qquad \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{u\Delta x}{c^2}\right).

• 异地事件的同时性是相对的。若两个事件在某系中既同地又同时，即 \(\Delta x=\Delta t=0\)，它们实为同一时空事件，在所有惯性系中仍重合。

• 原时由同一只钟在同一地点记录，即 \(\Delta x'=0\)。其他惯性系测得

\Delta t=\gamma\Delta t',

所以原时是这两个事件之间最短的时间间隔。

• 测量运动物体长度时必须令 \(\Delta t=0\)；由 \(\Delta x'=\gamma\Delta x\) 得

l_0=\gamma l,

再次说明固有长度最长。

3. 速度、动量与能量

• 速度变换为

v_x'=\frac{v_x-u}{1-uv_x/c^2},\qquad v_y'=\frac{v_y\sqrt{1-\beta^2}}{1-uv_x/c^2},\qquad v_z'=\frac{v_z\sqrt{1-\beta^2}}{1-uv_x/c^2}.

当 \(u\ll c\) 时退化为伽利略速度变换；若 \(v_x=c\)，则仍有 \(v_x'=c\)。

• 课件采用旧式“相对论质量”写法

m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma m_0.

补充说明： 现代教材通常把质量 \(m_0\) 视为不变量，直接把 \(\gamma\) 写入动量和能量，不再说质量随速度变化。

• 相对论动量与动力学基本方程为

\vec p=\gamma m_0\vec v,\qquad \vec F=\frac{d\vec p}{dt}.

• 相对论动能为

E_k=(\gamma-1)m_0c^2.

• 静止能量与总能量分别为

E_0=m_0c^2,\qquad E=\gamma m_0c^2,

且 \(E=E_0+E_k\)。

三、静电场

1. 库仑定律、电场与电通量

• 两个静止点电荷之间的库仑力为

\vec F_{21} =\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\hat r =\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^3}\vec r,

其中 \(\varepsilon_0=8.854\,187\,82\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)。

• 电场强度定义为单位正试探电荷所受静电力：

\vec E=\frac{\vec F}{q_0}.

• 连续带电体的电场由叠加原理求得：

\vec E=\int d\vec E.

• 通过闭合曲面 \(S\) 的电通量为

\Phi_e=\oint_S\vec E\cdot d\vec S.

\(d\vec S\) 的方向约定为外法线；场线穿出为正，穿入为负。

• 对位于闭合球面中心的点电荷，

\Phi_e=E(4\pi r^2)=\frac q{\varepsilon_0}.

点电荷在任意闭合面内部时结果仍为 \(q/\varepsilon_0\)，在外部时净通量为零。

• 真空中的高斯定理为

\oint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac1{\varepsilon_0}\sum_i q_{i,\text{内}}.

总电场由全部电荷产生，但闭合面的净通量只由面内净电荷决定；这也体现了静电场是有源场。

2. 静电功、电势与保守性

• 点电荷 \(q\) 对试探电荷 \(q_0\) 从 \(r_a\) 移到 \(r_b\) 所做的功为

A_{ab}=\int_a^b q_0\vec E\cdot d\vec l =\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r_a}-\frac1{r_b}\right),

只取决于始末位置，与路径无关。

• 因静电力做功与路径无关，静电力是保守力，静电场是保守场。

• 静电场的环路定理为

\oint_L\vec E\cdot d\vec l=0,

即静电场无旋。

• 多个点电荷产生的电势满足叠加原理：

u=\sum_i u_i;

连续分布带电体则写成 \(u=\int_Q du\)。

• 沿任意方向 \(l\)，电场分量等于电势沿该方向变化率的负值：

E_l=-\frac{du}{dl}.

• 三维形式为

\vec E=-\nabla u =-\left( \frac{\partial u}{\partial x}\vec i+ \frac{\partial u}{\partial y}\vec j+ \frac{\partial u}{\partial z}\vec k \right).

3. 静电平衡导体与电容

• 静电平衡时导体内部处处 \(\vec E=0\)，导体是等势体；若导体空腔内无自由电荷，腔内场也为零。导体表面外侧法向场满足

E_n=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.

• 孤立导体表面的电荷密度与局部曲率有关：尖锐、曲率大的部位更容易积聚电荷，形成“尖端放电”。

• 孤立导体的电容定义为

C=\frac QV,

表示使导体电势升高单位数值所需的电荷量。

• 半径为 \(R\) 的孤立导体球有

V=\frac Q{4\pi\varepsilon_0R},\qquad C=4\pi\varepsilon_0R.

4. 电介质、电位移与电场能

• 在均匀各向同性电介质中，若自由电荷保持不变，

E=\frac{E_0}{\varepsilon_r},\qquad \Delta u=\frac{\Delta u_0}{\varepsilon_r},

其中 \(\varepsilon_r\ge 1\) 是相对介电常数；极化产生的束缚电荷场会削弱原场。

• 平行板间充满电介质时，

E_0=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0},\qquad E=E_0-E',\qquad \sigma'=\left(1-\frac1{\varepsilon_r}\right)\sigma_0,

其中 \(\sigma'\) 是电介质表面的束缚电荷面密度大小。

• 定义电位移矢量

\vec D=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec E=\varepsilon\vec E.

• 电介质中的高斯定理为

\oint_S\vec D\cdot d\vec S=\sum_i q_{i,\text{自由,内}},

只计算高斯面内的自由电荷，不把束缚电荷列入右端。

• 线性各向同性电介质中的电场能量密度为

w=\frac12\varepsilon E^2=\frac12\vec E\cdot\vec D.

• 非均匀静电场的总能量为

W=\int_V w\,dV =\int_V\frac12\varepsilon E^2\,dV.

四、磁场、磁介质与电磁感应

1. 电流、运动电荷与磁场

• 电流元在磁场中受到安培力

d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B,\qquad dF=BI\,dl\sin\theta.

• 毕奥—萨伐尔定律为

d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2},

其中 \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}\)。

• 平面电流线圈的磁矩定义为

\vec p_m=IS\vec n,

方向由电流的右手螺旋定则确定。

• 磁矩也常记为

\vec\mu=I\vec a=IS\vec n,

其中 \(\vec a=S\vec n\) 是回路的面积矢量；\(\vec\mu\) 与本笔记中的 \(\vec p_m\) 表示同一物理量。

• 处于均匀外磁场中的载流线圈所受合力矩为

\vec\tau=\vec\mu\times\vec B, \qquad \tau=\mu B\sin\theta,

其作用是使磁矩趋向与磁场同向。

• 取 \(\theta=\frac{\pi}{2}\) 时势能为零，磁偶极子的势能为

U=-\vec\mu\cdot\vec B=-\mu B\cos\theta.

当 \(\vec\mu\) 与 \(\vec B\) 同向时势能最小，为稳定平衡；反向时势能最大，为不稳定平衡。

• 低速运动点电荷产生的磁场为

\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v\times\hat r}{r^2}.

• 运动电荷的电场与磁场满足

\vec B=\mu_0\varepsilon_0\,\vec v\times\vec E =\frac1{c^2}\vec v\times\vec E, \qquad c=\frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.

这说明磁场可视为电场的运动效应。

2. 磁场基本定理与安培力

• 磁场的高斯定理为

\oint_S\vec B\cdot d\vec S=0.

磁感线没有起点和终点，磁场是无源的涡旋场。

• 恒定电流磁场中的安培环路定理为

\oint_L\vec B\cdot d\vec l =\mu_0\sum_i I_{i,\text{内}}.

电流正负由积分回路方向与电流方向的右手关系确定；该式适用于闭合稳恒电流。

• 当电流分布具有足够对称性时，可选取使 \(B\) 在积分路径上恒定或分段恒定的安培回路，从而直接由环路定理求 \(B\)。

• 任意形状载流导线在外磁场中的合力为

\vec F=\int I\,d\vec l\times\vec B.

若 \(\vec B\) 为均匀场，闭合线圈有 \(\oint d\vec l=0\)，故合力为零，但合力矩不一定为零。

• 非均匀磁场中，带电粒子的回旋半径

R=\frac{mv_\perp}{|q|B}

会随 \(B\) 改变；横向回旋形成磁约束，磁场沿轴向增强时会产生磁镜效应，使粒子纵向速度减小甚至反射。

• 霍尔效应中，载流子受洛伦兹力 \(q\vec v\times\vec B\) 横向偏转，直至 \(q\vec E+q\vec v\times\vec B=0\)。对厚度为 \(d\) 的样品，

U_H=\frac{IB}{nqd},\qquad K_H=\frac1{nq}.

• 由霍尔系数可求载流子浓度并判断载流子正负：电子为主要载流子时对应 N 型，空穴为主要载流子时对应 P 型，霍尔电压极性相反。

3. 磁介质

• 磁介质用相对磁导率 \(\mu_r=B/B_0\) 表征。抗磁质 \(\mu_r<1\)、顺磁质 \(\mu_r>1\)，二者通常都属于弱磁性物质。

• 铁磁质的 \(\mu_r\gg1\)，常在 \(10^2\) 到 \(10^4\) 量级且并非常量；超导体表现为完全抗磁，理想情况下内部 \(B=0\)。

• 磁介质中的总磁场可写为

\vec B=\vec B_0+\vec B',

磁化强度定义为单位体积磁矩

\vec M=\frac{\sum\vec p_m}{\Delta V}.

• 磁化可用等效束缚电流描述。定义

\vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M,

从而把自由电流与磁化贡献分开。

• 磁介质中的安培环路定理为

\oint_L\vec H\cdot d\vec l=\sum I_{\text{自由}}.

线性各向同性介质中

\vec M=\chi_m\vec H,\qquad \vec B=\mu_0(\vec H+\vec M) =\mu_0\mu_r\vec H=\mu\vec H.

铁磁质的 \(B\)—\(H\) 关系非线性且具有磁滞。撤去外场后仍保留剩磁 \(B_r\)，要用反向矫顽场 \(H_c\) 才能使磁感应强度降为零；磁滞回线体现磁化过程不可逆。
软磁材料的 \(H_c\) 小、易磁化也易退磁，适合变压器、电机和电磁铁铁芯；硬磁材料的 \(H_c\) 大、剩磁强，适合永久磁铁。温度高于居里点 \(T_C\) 后，铁磁质转变为顺磁质。

4. 电磁感应、自感与互感

• 法拉第电磁感应定律为

\mathcal E=-\frac{d\Phi_m}{dt},

负号体现楞次定律：感应电流的作用总是反抗引起磁通量变化的原因。

• 电动势表示非静电力把单位正电荷从电源负极移到正极所做的功：

\mathcal E=\frac{A_K}{q} =\oint\vec E_K\cdot d\vec l.

非静电场维持电源的能量转换。

• 变化磁场产生有旋的感生电场：

\oint_L\vec E_v\cdot d\vec l =-\frac{d}{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec S.

与静电场不同，感生电场的环流通常不为零，但其通过闭合面的电通量为零，场线闭合。

• 自感现象是线圈自身电流变化引起自身磁通变化。若

\Phi_m=LI,

则

\mathcal E_L=-L\frac{dI}{dt}.

自感系数 \(L\) 由线圈几何形状、大小和周围介质决定。

• 两线圈之间有

\Psi_{21}=M_{21}I_1,\qquad \mathcal E_{21}=-M_{21}\frac{dI_1}{dt}.

在通常线性互易条件下 \(M_{21}=M_{12}=M\)。

• 建立电流时克服自感电动势所做的功储存在磁场中：

W_m=\int_0^I LI\,dI=\frac12LI^2.

5. 位移电流与麦克斯韦方程组

• 电容器充电时，极板间虽无传导电流，但电位移通量变化率

I_D=\frac{d\Phi_D}{dt} =\frac{d}{dt}\int_S\vec D\cdot d\vec S

与导线中的传导电流相接，使“全电流”连续。

• 麦克斯韦把安培环路定理推广为

\oint_L\vec H\cdot d\vec l =I_{\text{传导}}+I_D.

• 若传导电流为零，变化电场仍可通过位移电流产生磁场；反过来，变化磁场产生感生电场。这一互相激发机制是电磁波形成的基础。

• 麦克斯韦方程组的积分形式为

\oint_S\vec D\cdot d\vec S=\sum q_{\text{自由,内}},

\oint_L\vec E\cdot d\vec l =-\int_S\frac{\partial\vec B}{\partial t}\cdot d\vec S,

\oint_S\vec B\cdot d\vec S=0,

\oint_L\vec H\cdot d\vec l =\sum I_{\text{传导}}+ \int_S\frac{\partial\vec D}{\partial t}\cdot d\vec S.

五、复习主线

转动部分抓住三组类比：\(\vec F\leftrightarrow\vec M\)、\(\vec p\leftrightarrow\vec L\)、\(m\leftrightarrow J\)，再用功—能和角动量守恒处理综合题。
相对论先确定参考系与事件，再使用洛伦兹变换；“原时最短、固有长度最长”必须和测量条件一起记忆。
静电场的两条核心积分定理是高斯定理与环路定理；前者讨论源，后者讨论旋。
磁场中 \(\oint\vec B\cdot d\vec S=0\) 表明无磁单极，安培环路定理联系电流与环流。
法拉第定律与位移电流项把变化的磁场、电场连接起来，最终汇合为麦克斯韦方程组。