[mathjax]
判断一个矩阵A是否为正定矩阵有两种方法：
- 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
- 计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
例： 此时的矩阵A就是正定矩阵。
矩阵正定性的性质： 1、正定矩阵的特征值都是正数。 2、正定矩阵的所有子行列式都是正数。 3.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
第五章
\(R^n\) 中点列的收敛与 Cauchy 准则
设 \(\{x_k\}\) 是 \(R^n\) 中的点列，其中
$$
x_k=(x_k^{(1)},x_k^{(2)},\cdots,x_k^{(n)}).
$$
\(\{x_k\}\) 在 \(R^n\) 中收敛，当且仅当每个坐标分量数列都收敛。若
$$
\lim_{k\to\infty}x_k^{(i)}=a_i,\qquad i=1,2,\cdots,n,
$$
则
$$
\lim_{k\to\infty}x_k=(a_1,a_2,\cdots,a_n).
$$
\(R^n\) 中点列 \(\{x_k\}\) 收敛的充要条件是 \(\{x_k\}\) 为 Cauchy 点列，即对任意 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，当 \(k,l>N\) 时，
$$
\|x_k-x_l\|<\varepsilon.
$$
Bolzano-Weierstrass 定理
\(R^n\) 中的有界点列必有收敛子列。
例如在 \(R^2\) 中，点列可写为
$$
P_k=(x_k,y_k),
$$
它的子列可写为
$$
P_{k_j}=(x_{k_j},y_{k_j}).
$$
聚点、导集与闭包
设 \(A\subset R^n,\ a\in R^n\)。若存在 \(A\) 中的点列 \(\{x_k\}\)，满足
$$
x_k\neq a,\qquad x_k\to a,
$$
则称 \(a\) 为 \(A\) 的聚点。
\(A\) 的所有聚点构成的集合称为 \(A\) 的导集，记作 \(A'\)。集合
$$
\overline A=A\cup A'
$$
称为 \(A\) 的闭包。
若 \(a\in A\)，但 \(a\notin A'\)，则称 \(a\) 为 \(A\) 的孤立点。
等价说法
\(a\) 为 \(A\) 的聚点，当且仅当对任意去心邻域
$$
U^*(a,\varepsilon)=U(a,\varepsilon)\setminus\{a\},
$$
都有
$$
U^*(a,\varepsilon)\cap A\neq\emptyset.
$$
内点、外点与边界点
设 \(A\subset R^n,\ a\in R^n\)。
若存在 \(\delta>0\)，使得
$$
U(a,\delta)\subset A,
$$
则称 \(a\) 是 \(A\) 的内点，所有内点构成 \(A\) 的内部，记作 \(A^\circ\) 或 \(\mathrm{int}A\)。
若存在 \(\delta>0\)，使得
$$
U(a,\delta)\cap A=\emptyset,
$$
则称 \(a\) 是 \(A\) 的外点。
若对任意 \(\delta>0\)，\(U(a,\delta)\) 中既含有 \(A\) 中的点，也含有 \(A^c\) 中的点，则称 \(a\) 是 \(A\) 的边界点。所有边界点构成 \(A\) 的边界，记作 \(\partial A\)。
开集、闭集与紧集
若 \(A\) 中的每一点都是 \(A\) 的内点，则称 \(A\) 为开集。
若
$$
A'\subset A,
$$
则称 \(A\) 为闭集。
在 \(R^n\) 中：
- 空集 \(\emptyset\) 与全空间 \(R^n\) 都是开集；
- 任意多个开集的并是开集；
- 有限多个开集的交是开集。
若 \(A\subset R^n\) 为有界闭集，则称 \(A\) 为紧集。
连通集与区域
设 \(A\subset R^n\)。如果 \(A\) 中任意两点都能用完全属于 \(A\) 的有限个线段连接起来，则称 \(A\) 是连通集。
连通的开集称为区域。
区域与它的边界之并称为闭区域。
多元函数的重极限
设 \(f(x_1,\cdots,x_n)\) 在点 \(a=(a_1,\cdots,a_n)\) 的某去心邻域内有定义。若当
$$
(x_1,\cdots,x_n)\to(a_1,\cdots,a_n)
$$
时，
$$
f(x_1,\cdots,x_n)\to A,
$$
则记作
$$
\lim_{(x_1,\cdots,x_n)\to(a_1,\cdots,a_n)}
f(x_1,\cdots,x_n)=A.
$$
这个极限也称为 \(n\) 重极限。
二元函数可微
设 \(z=f(x,y)\)。若
$$
\Delta z
=
f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)
=
A\Delta x+B\Delta y+o(\rho),
$$
其中
$$
\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},
$$
则称 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微。
等价地，
$$
\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}
\frac{
[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]
-[A\Delta x+B\Delta y]
}{
\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
}
=0.
$$
若 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微，则
$$
A=f_x(x_0,y_0),\qquad B=f_y(x_0,y_0).
$$
连续、偏导存在、可微的关系
可微会推出连续，且偏导数存在。
偏导数存在不能推出可微，也不一定连续。
偏导数在点的某邻域内存在且在该点连续会推出可微。
可微不能推出偏导数连续。
方向导数
设 \(\mathbf e_l\) 是方向 \(l\) 上的单位向量。若极限
$$
\lim_{t\to 0}
\frac{f(\mathbf x_0+t\mathbf e_l)-f(\mathbf x_0)}{t}
$$
存在，则称它为函数 \(f\) 在点 \(\mathbf x_0\) 沿方向 \(l\) 的方向导数，记作
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\mathbf x_0}.
$$
若 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微，且
$$
\mathbf e_l=(\cos\alpha,\cos\beta),
$$
则
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)}
=
f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta.
$$
注意
计算方向导数时，必须使用单位方向向量。
如果题目给的方向向量为
$$
\mathbf a=(a,b),
$$
则应先化为
$$
\mathbf e_l=\frac{\mathbf a}{\|\mathbf a\|}
=
\frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}},
$$
再计算
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)}
=
\mathrm{grad} f(x_0,y_0)\cdot \mathbf e_l.
$$
梯度
设 \(z=f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微，则
$$
\mathrm{grad} f(x_0,y_0)
=
f_x(x_0,y_0)\mathbf i+f_y(x_0,y_0)\mathbf j.
$$
方向导数可以写成
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)}
=
\mathrm{grad} f(x_0,y_0)\cdot \mathbf e_l.
$$
梯度方向是方向导数取得最大值的方向，最大值为
$$
\left|\mathrm{grad}f(x_0,y_0)\right|.
$$
注意
梯度方向是函数增长最快的方向。
等值线 \(f(x,y)=C\) 上，梯度方向与等值线相垂直。
已知法向量和点求平面
若平面经过点
$$
P_0(x_0,y_0,z_0)
$$
且法向量为
$$
\mathbf n=(A,B,C),
$$
则平面方程为
$$
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
$$
复合函数求导
若 \(u=u(x,y),\ v=v(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 可微，且 \(z=f(u,v)\) 在对应点 \((u,v)\) 可微，则复合函数
$$
z=f[u(x,y),v(x,y)]
$$
在点 \((x,y)\) 可微，且
$$
dz=
\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\right)dx
+
\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right)dy.
$$
也就是
$$
\frac{\partial z}{\partial x}
=
\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y}
=
\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
$$
一个方程的隐函数求导
若 \(F(x,y)\) 满足
$$
F(x_0,y_0)=0,\qquad F_y(x_0,y_0)\neq 0,
$$
则在点 \((x_0,y_0)\) 附近可以由
$$
F(x,y)=0
$$
唯一确定函数 \(y=f(x)\)，并且
$$
\frac{dy}{dx}
=
-\frac{F_x}{F_y}.
$$
补充
也可以利用全微分求隐函数导数：
$$
dF=F_x\,dx+F_y\,dy=0
$$
所以
$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}.
$$
二阶 Taylor 公式与 Hesse 矩阵
设 \(f\) 为二元函数，记
$$
\Delta \mathbf x=
\begin{pmatrix}
\Delta x\\
\Delta y
\end{pmatrix}.
$$
Hesse 矩阵为
$$
H_f=
\begin{pmatrix}
f_{xx} & f_{xy}\\
f_{yx} & f_{yy}
\end{pmatrix}.
$$
二阶 Taylor 公式为
$$
f(\mathbf x_0+\Delta \mathbf x)
=
f(\mathbf x_0)
+\langle \nabla f(\mathbf x_0),\Delta \mathbf x\rangle
+\frac{1}{2}(\Delta \mathbf x)^T H_f(\mathbf x_0)\Delta \mathbf x
+o(\|\Delta \mathbf x\|^2).
$$
二元函数极值判别
设 \(P_0(x_0,y_0)\) 为 \(f\) 的驻点，即
$$
f_x(P_0)=0,\qquad f_y(P_0)=0.
$$
记
$$
A=f_{xx}(P_0),\qquad B=f_{xy}(P_0),\qquad C=f_{yy}(P_0).
$$
则
$$
H_f(P_0)=
\begin{pmatrix}
A & B\\
B & C
\end{pmatrix}.
$$
判别方法：
- 若 \(A>0,\ AC-B^2>0\)，则 \(f(P_0)\) 为极小值；
- 若 \(A<0,\ AC-B^2>0\)，则 \(f(P_0)\) 为极大值；
- 若 \(AC-B^2<0\)，则 \(f(P_0)\) 不是极值；
- 若 \(AC-B^2=0\)，称为临界情况，需要另行判断。
Lagrange 乘数法
求函数 \(f(x,y)\) 在约束
$$
\varphi(x,y)=0
$$
下的条件极值时，构造 Lagrange 函数
$$
L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y).
$$
必要条件为
$$
\begin{cases}
L_x=f_x+\lambda\varphi_x=0,\\
L_y=f_y+\lambda\varphi_y=0,\\
L_\lambda=\varphi(x,y)=0.
\end{cases}
$$
解出 \(x,y,\lambda\) 后，再比较可能的极值点。
向量值函数的导数与 Jacobi 矩阵
设
$$
\mathbf f:\mathbb R^2\to\mathbb R^m,\qquad
\mathbf f=(f_1,f_2,\cdots,f_m)^T.
$$
若 \(\mathbf f\) 在 \(\mathbf x_0=(x_1,x_2)^T\) 处可微，则
$$
d\mathbf f(\mathbf x_0)
=
D\mathbf f(\mathbf x_0)\,d\mathbf x,
$$
其中 Jacobi 矩阵为
$$
D\mathbf f(\mathbf x_0)=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\\
\vdots & \vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}
\end{pmatrix}_{\mathbf x=\mathbf x_0}.
$$
向量值复合函数求导
设
$$
\mathbf u=g(\mathbf x),\qquad \mathbf w=\mathbf f(\mathbf u).
$$
若相应函数可微，则
$$
D(\mathbf f\circ g)(\mathbf x_0)
=
D\mathbf f(\mathbf u_0)\,Dg(\mathbf x_0),
$$
其中
$$
\mathbf u_0=g(\mathbf x_0).
$$
向量写法
若
$$
\mathbf u=
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix},
\qquad
\mathbf x=
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix},
$$
则微分写成矩阵形式：
$$
d\mathbf u=Dg(\mathbf x)\,d\mathbf x.
$$
这里 \(Dg\) 就是 Jacobi 矩阵。
方程组的隐函数存在定理
设有方程组
$$
\begin{cases}
F_1(x,y,u,v)=0,\\
F_2(x,y,u,v)=0.
\end{cases}
$$
若
$$
F_i(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,\qquad i=1,2,
$$
并且
$$
J=
\frac{\partial(F_1,F_2)}{\partial(u,v)}
=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial u} & \frac{\partial F_1}{\partial v}\\
\frac{\partial F_2}{\partial u} & \frac{\partial F_2}{\partial v}
\end{vmatrix}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}
\neq 0,
$$
则在点附近可唯一确定两个函数
$$
u=u(x,y),\qquad v=v(x,y).
$$
求导公式
对 \(x\) 求导：
$$
\begin{cases}
F_{1x}+F_{1u}u_x+F_{1v}v_x=0,\\
F_{2x}+F_{2u}u_x+F_{2v}v_x=0.
\end{cases}
$$
由 Cramer 法则，
$$
\frac{\partial u}{\partial x}
=
-\frac{1}{J}
\frac{\partial(F_1,F_2)}{\partial(x,v)},
\qquad
\frac{\partial v}{\partial x}
=
-\frac{1}{J}
\frac{\partial(F_1,F_2)}{\partial(u,x)}.
$$
类似地，
$$
\frac{\partial u}{\partial y}
=
-\frac{1}{J}
\frac{\partial(F_1,F_2)}{\partial(y,v)},
\qquad
\frac{\partial v}{\partial y}
=
-\frac{1}{J}
\frac{\partial(F_1,F_2)}{\partial(u,y)}.
$$
补充
方程组隐函数求偏导也可以直接利用全微分。
由
$$
F_1(x,y,u,v)=0,\qquad F_2(x,y,u,v)=0
$$
得到
$$
\begin{cases}
F_{1x}\,dx+F_{1y}\,dy+F_{1u}\,du+F_{1v}\,dv=0,\\
F_{2x}\,dx+F_{2y}\,dy+F_{2u}\,du+F_{2v}\,dv=0.
\end{cases}
$$
再把 \(du,dv\) 关于 \(dx,dy\) 解出来即可。
空间曲线弧长
设空间曲线 \(\Gamma\) 的方程为
$$
\mathbf r=\mathbf r(t),\qquad a\le t\le b,
$$
且 \(\mathbf r'(t)\) 连续、\(\mathbf r'(t)\neq 0\)，则弧长为
$$
s=\int_a^b \|\mathbf r'(t)\|\,dt
=
\int_a^b\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}\,dt.
$$
平面极坐标曲线弧长
若平面曲线的极坐标方程为
$$
\rho=\rho(\theta),\qquad \alpha\le \theta\le\beta,
$$
即
$$
x=\rho(\theta)\cos\theta,\qquad y=\rho(\theta)\sin\theta,
$$
则弧长为
$$
s=\int_\alpha^\beta
\sqrt{[\rho(\theta)]^2+[\rho'(\theta)]^2}\,d\theta.
$$
曲率
若空间曲线 \(\Gamma\) 的方程为
$$
\mathbf r=\mathbf r(s),
$$
其中 \(s\) 为自然参数，即弧长参数，则曲率为
$$
\kappa(s)=\|\mathbf r''(s)\|.
$$
若空间曲线由一般参数 \(t\) 给出：
$$
\mathbf r=\mathbf r(t),
$$
则曲率为
$$
\kappa(t)=
\frac{\|\mathbf r'(t)\times \mathbf r''(t)\|}{\|\mathbf r'(t)\|^3}.
$$
特别地，平面曲线
$$
x=x(t),\qquad y=y(t)
$$
的曲率为
$$
\kappa(t)=
\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}
{\left([x'(t)]^2+[y'(t)]^2\right)^{3/2}}.
$$
曲率半径
曲率半径 \(R\) 与曲率 \(\kappa\) 的关系为
$$
R=\frac{1}{\kappa}.
$$
第六章
二重积分换元
极坐标换元：
$$
\iint_{\sigma} f(x,y)\,d\sigma
=
\iint_{\sigma'} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\,d\rho d\theta.
$$
一般换元 \(x=x(u,v),\ y=y(u,v)\)：
$$
\iint_{\sigma} f(x,y)\,d\sigma
=
\iint_{\sigma'} f[x(u,v),y(u,v)]
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,dudv.
$$
其中 Jacobi 行列式为
$$
\begin{vmatrix}
x_u & y_u\\
x_v & y_v
\end{vmatrix}
=
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.
$$
所以
$$
\Delta\sigma
\approx
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|_{(u_0,v_0)}
\Delta u\Delta v.
$$
注意
当 \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\) 不好求时，可以先求
$$
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}
$$
再取倒数后把 \(x,y\) 换成 \(u,v\)。
三重积分换元
若 \(x=x(u,v,w),\ y=y(u,v,w),\ z=z(u,v,w)\)，则
$$
dV=
\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\,dudvdw,
$$
$$
\iiint_V f(x,y,z)\,dV
=
\iiint_{V'} f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]
\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\,dudvdw.
$$
其中
$$
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}
=
\begin{vmatrix}
x_u & x_v & x_w\\
y_u & y_v & y_w\\
z_u & z_v & z_w
\end{vmatrix}.
$$
柱面坐标
柱面坐标：
$$
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad z=z.
$$
体积微元为
$$
dV=\rho\,d\rho d\theta dz.
$$
所以
$$
\iiint_V f(x,y,z)\,dV
=
\iiint_{V'} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\rho\,d\rho d\theta dz.
$$
球面坐标
球面坐标：
$$
x=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad
y=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad
z=r\cos\varphi.
$$
其中 \(r\ge 0,\ 0\le \varphi\le \pi,\ 0\le \theta<2\pi\)。
体积微元为
$$
dV=r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta.
$$
所以
$$
\iiint_V f(x,y,z)\,dV
=
\iiint_{V'} f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)
r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta.
$$
含参积分的极限与求导
若条件允许交换极限与积分，则
$$
\lim_{y\to y_0}\int_a^b f(x,y)\,dx
=
\int_a^b f(x,y_0)\,dx
=
\int_a^b \lim_{y\to y_0}f(x,y)\,dx.
$$
设
$$
F(y)=\int_a^b f(x,y)\,dx,
$$
则
$$
F'(y)=
\frac{d}{dy}\int_a^b f(x,y)\,dx
=
\int_a^b \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,dx.
$$
积分次序交换
若 \(f\in C(D)\)，则
$$
F(y)=\int_a^b f(x,y)\,dx
$$
在 \([c,d]\) 上可积，
$$
G(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy
$$
在 \([a,b]\) 上可积，并且
$$
\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy
=
\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx.
$$
反常二重积分
若 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(\sigma\) 上除一点 \(P_0(x_0,y_0)\) 外处处连续，且当 \((x,y)\to(x_0,y_0)\) 时 \(f(x,y)\to\infty\)，则令 \(U(P_0,d)\) 为 \(P_0\) 的邻域，定义
$$
\iint_{\sigma} f(x,y)\,dxdy
=
\lim_{d\to 0}\iint_{\sigma\setminus U(P_0,d)} f(x,y)\,dxdy.
$$
若该极限存在，则反常二重积分收敛；否则发散。
判别法
在无界区域上，若当 \(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\ge \rho_0\) 时
$$
|f(x,y)|\le \frac{M}{\rho^\alpha},
$$
则当 \(\alpha>2\) 时，反常二重积分收敛。
在有限奇点 \(P_0(x_0,y_0)\) 附近，若
$$
|f(x,y)|\le \frac{M}{\rho^\alpha},\qquad
\rho=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2},
$$
则当 \(\alpha<2\) 时，反常二重积分收敛。
质心的计算方法
空间物体的质量为
$$
m=\iiint_V \rho(x,y,z)\,dV.
$$
对坐标平面的静矩为
$$
M_{yz}=\iiint_V x\rho\,dV,\qquad
M_{zx}=\iiint_V y\rho\,dV,\qquad
M_{xy}=\iiint_V z\rho\,dV.
$$
质心坐标为
$$
\bar{x}=\frac{M_{yz}}{m},\qquad
\bar{y}=\frac{M_{zx}}{m},\qquad
\bar{z}=\frac{M_{xy}}{m}.
$$
第一型曲线积分
若空间曲线 \(C\) 的参数方程为
$$
x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad z=z(t),\qquad \alpha\le t\le\beta,
$$
则
$$
\int_C f(x,y,z)\,ds
=
\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t),z(t)]
\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}\,dt.
$$
第一型曲面积分
若曲面 \(S\) 可参数化为
$$
\mathbf r=\mathbf r(u,v),
$$
则面积为
$$
S=\iint_{\sigma}\left\|\mathbf r_u\times \mathbf r_v\right\|\,dudv.
$$
若 \(S\) 的方程为 \(z=f(x,y)\)，则
$$
S=\iint_{\sigma}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dxdy.
$$
第一型曲面积分为
$$
\iint_S f(x,y,z)\,dS
=
\iint_{\sigma} f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]
\left\|\mathbf r_u\times \mathbf r_v\right\|\,dudv.
$$
若 \(S\) 的方程为 \(z=z(x,y)\)，则
$$
\iint_S f(x,y,z)\,dS
=
\iint_{\sigma} f[x,y,z(x,y)]
\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy.
$$
第二型曲线积分
设 \(\mathbf A=(P,Q,R)\)，则
$$
\int_C \mathbf A(M)\cdot d\mathbf s
=
\int_C P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz.
$$
若 \(C\) 的参数方程为 \(x=x(t),y=y(t),z=z(t)\)，则
$$
\int_C P\,dx=\int_\alpha^\beta P[x(t),y(t),z(t)]x'(t)\,dt,
$$
$$
\int_C Q\,dy=\int_\alpha^\beta Q[x(t),y(t),z(t)]y'(t)\,dt,
$$
$$
\int_C R\,dz=\int_\alpha^\beta R[x(t),y(t),z(t)]z'(t)\,dt.
$$
注意
若闭曲线围成的区域被分割，公共边界方向相反时积分相互抵消，因此外边界上的第二型线积分等于各小区域边界积分之和。
两类线积分的联系
设 \(\mathbf e_t\) 是曲线 \(C\) 正方向的单位切向量，则
$$
d\mathbf s=\mathbf e_t\,ds.
$$
因此
$$
\int_C \mathbf A(M)\cdot d\mathbf s
=
\int_C \mathbf A(M)\cdot \mathbf e_t\,ds.
$$
若 \(\mathbf e_t=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)，则
$$
\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz
=
\int_C (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,ds.
$$
第二型曲面积分
设 \(\mathbf A=(P,Q,R)\)，则
$$
\iint_S \mathbf A(M)\cdot d\mathbf S
=
\iint_S P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy.
$$
所以第二型曲面积分也称为对坐标的面积分。
若曲面 \(S\) 的参数方程为
$$
\mathbf r=\mathbf r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),
\qquad (u,v)\in D,
$$
并且 \(S\) 的取向由 \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\) 确定，则第二型曲面积分的计算公式为
$$
\iint_S \mathbf A\cdot d\mathbf S
=
\iint_D \mathbf A[\mathbf r(u,v)]\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,dudv.
$$
如果实际取向与 \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\) 相反，则公式右端取负号。
展开为坐标形式：
$$
\iint_S P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy
$$
$$
=
\iint_D
\left[
P\begin{vmatrix}y_u&y_v\\z_u&z_v\end{vmatrix}
+Q\begin{vmatrix}z_u&z_v\\x_u&x_v\end{vmatrix}
+R\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}
\right]dudv.
$$
两类曲面积分的联系
若 \(S\) 的单位法向量为
$$
\mathbf n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma),
$$
则
$$
\iint_S P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy
=
\iint_S (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,dS.
$$
若 \(S\) 可写成 \(z=z(x,y)\)，则
$$
\iint_S R(x,y,z)\,dx\wedge dy
=
\pm\iint_{\sigma_{xy}} R[x,y,z(x,y)]\,dxdy.
$$
沿上侧取正号，沿下侧取负号。
同理，若 \(S\) 可写成 \(x=x(y,z)\)，则
$$
\iint_S P(x,y,z)\,dy\wedge dz
=
\pm\iint_{\sigma_{yz}} P[x(y,z),y,z]\,dydz.
$$
沿前侧取正号，沿后侧取负号。
若 \(S\) 可写成 \(y=y(z,x)\)，则
$$
\iint_S Q(x,y,z)\,dz\wedge dx
=
\pm\iint_{\sigma_{zx}} Q[x,y(z,x),z]\,dzdx.
$$
沿右侧取正号，沿左侧取负号。
Green 公式
设平面有界闭区域 \(\sigma\) 由分段光滑的简单闭曲线 \(C\) 围成，\(P,Q\in C^{(1)}(\sigma)\)，则
$$
\oint_C P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy
=
\iint_{\sigma}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}
-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma.
$$
\(C\) 取正向时，区域 \(\sigma\) 始终在曲线前进方向的左侧。
记忆方法
Green 公式右边记作“\(Q\) 对 \(x\) 求偏导，减去 \(P\) 对 \(y\) 求偏导”：
$$
\frac{\partial Q}{\partial x}
-
\frac{\partial P}{\partial y}.
$$
从原理上看，Green 公式是在说：边界上的积分等于区域内部的“微小旋转量”累加。
把被积表达式看成
$$
P\,dx+Q\,dy.
$$
求它的外微分：
$$
d(P\,dx+Q\,dy)
=
dP\wedge dx+dQ\wedge dy.
$$
因为
$$
dP=P_x\,dx+P_y\,dy,\qquad dQ=Q_x\,dx+Q_y\,dy,
$$
所以
$$
dP\wedge dx
=
P_y\,dy\wedge dx
=
-P_y\,dx\wedge dy,
$$
$$
dQ\wedge dy
=
Q_x\,dx\wedge dy.
$$
合起来就是
$$
d(P\,dx+Q\,dy)
=
(Q_x-P_y)\,dx\wedge dy.
$$
因此 Green 公式中自然出现的是
$$
Q_x-P_y.
$$
曲线积分与路径无关
设区域 \(\sigma\subset\mathbb R^2\)，\(P,Q\in C^{(1)}(\sigma)\)，则以下命题等价：
- 沿 \(\sigma\) 内任一分段光滑的简单闭曲线 \(C\)，有
$$
\oint_C P\,dx+Q\,dy=0.
$$
- 线积分
$$
\int_A^B P\,dx+Q\,dy
$$
的值在 \(\sigma\) 内与路径无关。
- 被积表达式是某个二元函数 \(u(x,y)\) 的全微分：
$$
du=P\,dx+Q\,dy.
$$
若 \(\sigma\) 为单连通区域，则充要条件为
$$
\frac{\partial P}{\partial y}
=
\frac{\partial Q}{\partial x},
\qquad (x,y)\in\sigma.
$$
Gauss 公式
设空间有界闭区域 \(V\) 由分片光滑的闭曲面 \(S\) 围成，\(\mathbf A=(P,Q,R)\)，且 \(P,Q,R\in C^{(1)}(V)\)，则
$$
\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}
+\frac{\partial Q}{\partial y}
+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV
=
\iint_S P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy.
$$
用向量形式可写为
$$
\iiint_V \nabla\cdot \mathbf A\,dV
=
\iint_S \mathbf A\cdot d\mathbf S.
$$
散度
设 \(\mathbf A=(P,Q,R)\)，则
$$
\mathrm{div}\mathbf A
=
\nabla\cdot\mathbf A
=
\frac{\partial P}{\partial x}
+\frac{\partial Q}{\partial y}
+\frac{\partial R}{\partial z}.
$$
常用性质：
$$
\mathrm{div}(C\mathbf A)=C\mathrm{div}\mathbf A,
$$
$$
\mathrm{div}(\mathbf A\pm\mathbf B)
=
\mathrm{div}\mathbf A\pm\mathrm{div}\mathbf B,
$$
$$
\mathrm{div}(u\mathbf A)
=
u\mathrm{div}\mathbf A+\mathrm{grad}u\cdot\mathbf A.
$$
Stokes 公式
设区域 \(G\subset\mathbb R^3\)，\(P,Q,R\in C^{(1)}(G)\)，\(C\) 为 \(G\) 内一条分段光滑的有向简单闭曲线，\(S\) 是以 \(C\) 为边界的有向曲面，且 \(C\) 的方向与 \(S\) 的法向量符合右手螺旋法则，则
$$
\oint_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz
=
\iint_S
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\wedge dz
+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dz\wedge dx
+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy.
$$
若 \(\mathbf A=(P,Q,R)\)，则向量形式为
$$
\oint_C \mathbf A\cdot d\mathbf s
=
\iint_S (\nabla\times\mathbf A)\cdot d\mathbf S.
$$
旋度
设 \(\mathbf A=(P,Q,R)\)，则
$$
\mathrm{rot}\mathbf A
=
\nabla\times\mathbf A
=
\begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
P & Q & R
\end{vmatrix}.
$$
即
$$
\mathrm{rot}\mathbf A
=
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf i
+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf j
+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf k.
$$
旋度与散度运算公式
$$
\mathrm{rot}(C\mathbf A)=C\mathrm{rot}\mathbf A,
$$
$$
\mathrm{rot}(\mathbf A+\mathbf B)
=
\mathrm{rot}\mathbf A+\mathrm{rot}\mathbf B,
$$
$$
\mathrm{rot}(u\mathbf A)
=
u\mathrm{rot}\mathbf A+\mathrm{grad}u\times\mathbf A.
$$
常用恒等式：
$$
\mathrm{div}(\mathbf A\times\mathbf B)
=
\mathbf B\cdot\mathrm{rot}\mathbf A
-\mathbf A\cdot\mathrm{rot}\mathbf B,
$$
$$
\mathrm{div}(\mathrm{rot}\mathbf A)=0,
$$
$$
\mathrm{rot}(\mathrm{grad}u)=0,
$$
$$
\mathrm{div}(\mathrm{grad}u)=\Delta u.
$$
其中
$$
\Delta
=
\frac{\partial^2}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$
称为 Laplace 算子。
另外，
$$
\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\mathbf A)
=
\mathrm{grad}(\mathrm{div}\mathbf A)-\Delta\mathbf A,
$$
其中
$$
\Delta\mathbf A=(\Delta P,\Delta Q,\Delta R).
$$
第七章
证明级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^t}\) 在 \(t>1\) 时收敛
证明：
设
$$
f(x)=\frac{1}{x^t}
$$
因为 \(t>1\)，所以 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上单调递减且恒为正。
对 \(n\ge 2\)，当 \(x\in[n-1,n]\) 时，有
$$
x\le n
$$
所以
$$
\frac{1}{x^t}\ge \frac{1}{n^t}
$$
于是
$$
\int_{n-1}^{n}\frac{1}{x^t}\,dx
\ge
\int_{n-1}^{n}\frac{1}{n^t}\,dx
=
\frac{1}{n^t}
$$
因此
$$
\frac{1}{n^t}
\le
\int_{n-1}^{n}\frac{1}{x^t}\,dx
$$
两边从 \(n=2\) 加到 \(N\)，得
$$
\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^t}
\le
\int_{1}^{N}\frac{1}{x^t}\,dx
$$
计算积分：
$$
\int_{1}^{N}\frac{1}{x^t}\,dx
=
\int_{1}^{N}x^{-t}\,dx
=
\left.\frac{x^{1-t}}{1-t}\right|_1^N
$$
所以
$$
\int_{1}^{N}\frac{1}{x^t}\,dx
=
\frac{N^{1-t}-1}{1-t}
=
\frac{1-N^{1-t}}{t-1}
$$
因为 \(t>1\)，所以
$$
1-t<0
$$
从而
$$
N^{1-t}\to 0
\qquad (N\to\infty)
$$
并且
$$
\frac{1-N^{1-t}}{t-1}
<
\frac{1}{t-1}
$$
因此
$$
\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^t}
\le
\frac{1}{t-1}
$$
于是部分和
$$
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^t}
$$
满足
$$
S_N
=
1+\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^t}
\le
1+\frac{1}{t-1}
$$
又因为 \(\frac{1}{n^t}>0\)，所以部分和序列 \(\{S_N\}\) 单调递增。
因此，\(\{S_N\}\) 单调递增且有上界，由单调有界原理可知，\(\{S_N\}\) 收敛。
所以
$$
\sum_{n=1^{\infty}\frac{1}{n^t}
\text{ 在 } t>1 \text{ 时收敛}
}
$$
收敛级数加括号后仍收敛
若级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛，则不改变各项的次序，只是任意加入括号后，所得的新级数仍然收敛，并且其和不变。
也就是说，收敛级数满足有限项的结合律。比如可以把若干项合并成一组：
$$
(a_1+a_2)+(a_3+a_4+a_5)+\cdots
$$
这样得到的新级数仍然收敛，而且它的和仍等于原级数的和。
注意
性质 1.4 只说明：原级数收敛会推出加括号后的级数收敛，且和不变。
但是它的逆命题不一定成立。也就是说，加括号后的级数收敛，不能推出原级数一定收敛。
例如，加括号后的级数 \((1-1)+(1-1)+\cdots\) 中，每一组都是 \(0\)，所以它收敛，并且和为 \(0\)。
但是如果去掉括号，原级数变为
$$
1-1+1-1+\cdots
$$
它的部分和依次为 \(1,0,1,0,\cdots\)，没有极限，因此原级数发散。
对于发散级数来说，加括号以后不仅可能变成收敛级数，而且不同的加括号方式还可能得到不同的和。
例如发散级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}
=
1-1+1-1+\cdots
$$
若相邻两项加括号，得到 \((1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+\cdots=0\)，所以加括号后的级数收敛于 \(0\)。
但若按照另一种方式加括号，得到 \(1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1+0+0+\cdots=1\)，所以加括号后的级数收敛于 \(1\)。
因此，只有在原级数已经收敛的前提下，才能保证加括号后仍然收敛，并且和不变。
Cauchy 收敛原理
级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛的充要条件是：
对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，使得对任意正整数 \(p\)，当 \(n>N\) 时，恒有
$$
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k\right|<\varepsilon.
$$
D'Alembert 判别法
设 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 为正项级数，即 \(a_n>0\)。如果
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lambda
$$
其中 \(\lambda\) 为有限数或 \(+\infty\)，则有：
- 若 \(\lambda<1\)，则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛；
- 若 \(\lambda>1\)，包括 \(\lambda=+\infty\) 的情况，则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散。
注意
当 \(\lambda=1\) 时，D'Alembert 判别法失效，不能判断级数的敛散性。
例如，级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) 发散，但
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}
=
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}
=
1.
$$
而级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 收敛，但同样有
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}
=
\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}
=
1.
$$
因此，当比值极限 \(\lambda=1\) 时，需要换用其他判别法。
Cauchy 判别法
设 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 为正项级数，即 \(a_n>0\)。如果
$$
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lambda
$$
其中 \(\lambda\) 为有限数或 \(+\infty\)，则有：
- 若 \(\lambda<1\)，则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛；
- 若 \(\lambda>1\)，包括 \(\lambda=+\infty\) 的情况，则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散。
注意
当 \(\lambda=1\) 时，Cauchy 判别法失效，不能判断级数的敛散性，需要换用其他判别法。
D'Alembert 判别法和 Cauchy 判别法又分别称为检比法和检根法。
绝对收敛级数的重排性质
如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 绝对收敛，那么任意交换它的各项次序后得到的新级数仍然绝对收敛，并且新级数的和与原级数的和相等。
也就是说，若
$$
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
$$
收敛，则对 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 的各项任意重排，所得级数仍然收敛，而且和不变。
注意
这个定理要求原级数必须是绝对收敛的。
如果级数只是条件收敛，那么任意重排后不一定保持原来的和，甚至可能改变为其他和，或者变成发散级数。
绝对收敛级数的乘积性质
设级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 与 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 都绝对收敛，它们的和分别为 \(A\) 与 \(B\)。
那么，把它们各项相乘得到的所有乘积项 \(a_n b_m\) 按任意次序排列，所得的新级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} c_n\) 也绝对收敛，并且其和为 \(AB\)。
Cauchy 一致收敛原理
设函数项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)
$$
定义在集合 \(D\) 上，记它的部分和为
$$
S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x).
$$
则函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛的充要条件是：
对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N(\varepsilon)\)，使得对任意正整数 \(n,p\)，当 \(n>N(\varepsilon)\) 时，对任意 \(x\in D\)，恒有
$$
\left|S_{n+p}(x)-S_n(x)\right|
=
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)\right|
<\varepsilon.
$$
\(M\) 判别准则
设函数项级数为
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x),
$$
其中 \(x\in D\)。
如果存在一个收敛的正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} M_n\)，并且对任意 \(n\in \mathbb{N}_+\) 与任意 \(x\in D\)，恒有
$$
|u_n(x)|\leq M_n,
$$
那么函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛。
注意
这里的关键是 \(M_n\) 不能依赖于 \(x\)。
如果找到的上界仍然含有 \(x\)，例如 \(|u_n(x)|\leq M_n(x)\)，那么就不能直接使用 \(M\) 判别准则。
另外，\(M\) 判别准则只能用来证明一致收敛，不能用来证明不一致收敛。
一致收敛级数和函数的性质
设函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) 的和函数为 \(S(x)\)。
连续性
若每一项 \(u_n(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，且 \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛，则和函数 \(S(x)\) 在 \(I\) 上连续。
即：
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)
$$
仍为连续函数。
可积性
若每一项 \(u_n(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且 \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，则可以逐项积分：
$$
\int_a^b S(x)\,dx
=
\sum_{n=1}^{\infty}\int_a^b u_n(x)\,dx.
$$
可导性
仅有 \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) 一致收敛，不能保证可以逐项求导。
若每一项 \(u_n(x)\) 可导，且导数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x)\) 一致收敛，同时原级数至少在一点收敛，则和函数 \(S(x)\) 可导，并且
$$
S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x).
$$
Abel 定理
对于幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)，有以下结论：
- 若它在点 \(x_0\neq 0\) 处收敛，则当 \(|x|<|x_0|\) 时，该幂级数绝对收敛；
- 若它在点 \(\tilde{x}_0\neq 0\) 处发散，则当 \(|x|>|\tilde{x}_0|\) 时，该幂级数发散。
注意
Abel 定理不能直接判断边界点的敛散性。
也就是说，当 \(|x|=|x_0|\) 时，需要单独讨论。
幂级数收敛半径公式：比值形式
设幂级数为 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)，且 \(a_n\neq 0\)。
如果极限
$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
$$
存在，或者等于 \(+\infty\)，则该幂级数的收敛半径为
$$
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.
$$
幂级数收敛半径公式：根值形式
设幂级数为 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\)，且 \(a_n\neq 0\)。
如果极限
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}
$$
存在，或者等于 \(+\infty\)，则该幂级数的收敛半径为
$$
R=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}.
$$
幂级数的内闭一致收敛性
设幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\) 的收敛半径为 \(R\)，且 \(0<R\leq +\infty\)。
则该幂级数在收敛区间 \((-R,R)\) 内的任意闭子区间 \([a,b]\) 上都是一致收敛的。
幂级数和函数的性质
设幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) 的和函数为 \(S(x)\)，收敛半径为 \(R\)。
连续性
\(S(x)\) 在收敛区间 \((-R,R)\) 内连续，即
$$
S(x)\in C(-R,R).
$$
可导性
\(S(x)\) 在 \((-R,R)\) 内有连续导数，并且可以逐项求导：
$$
S'(x)
=
\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'
=
\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}.
$$
求导后所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。
可积性
\(S(x)\) 在 \((-R,R)\) 内可积，并且可以逐项积分。对任意 \(x\in(-R,R)\)，有
$$
\int_0^x S(t)\,dt
=
\int_0^x\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n\right)dt
=
\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x a_nt^n\,dt
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}.
$$
积分后所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。
注意
这些性质都只保证在收敛区间内部 \((-R,R)\) 成立；端点 \(x=\pm R\) 处需要单独讨论。
三角函数系的正交性
三角级数由三角函数系
$$
\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots\}
$$
构成。
这个函数系在区间 \([-\pi,\pi]\) 上具有正交性：任意两个不同函数的乘积在 \([-\pi,\pi]\) 上的积分等于 \(0\)，而任一函数平方后的积分不等于 \(0\)。
基本积分公式
对任意 \(n\in\mathbb{N}_+\)，有
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx=0,\qquad
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,dx=0.
$$
当 \(m\neq n\) 时，有
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,dx=0,
$$
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx=0,
$$
并且对任意 \(m,n\in\mathbb{N}_+\)，有
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\cos nx\,dx=0.
$$
此外，
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nx\,dx
=
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 nx\,dx
=
\pi,
$$
而
$$
\int_{-\pi}^{\pi}1^2\,dx=2\pi.
$$
Fourier 级数展开
假设函数 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可以展开为三角级数，即
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right).
$$
其中 Fourier 系数为：
$$
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,
$$
$$
a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx,\qquad k=0,1,2,\cdots,
$$
$$
b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx,\qquad k=1,2,\cdots.
$$
含义
\(a_k\) 表示 \(f(x)\) 中余弦项 \(\cos kx\) 的系数，\(b_k\) 表示正弦项 \(\sin kx\) 的系数。
这些公式是利用三角函数系在 \([-\pi,\pi]\) 上的正交性得到的。
Dirichlet 定理
设函数 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上分段单调，并且除有限个第一类间断点外处处连续，则 \(f\) 的 Fourier 级数在 \([-\pi,\pi]\) 上收敛。
其和函数 \(S(x)\) 满足：
$$
S(x)=
\begin{cases}
f(x), & x \text{ 是 } f \text{ 的连续点}, \\[6pt]
\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}, & x \text{ 是 } f \text{ 的间断点}, \\[8pt]
\frac{f(-\pi+0)+f(\pi-0)}{2}, & x=\pm\pi.
\end{cases}
$$
周期为 \(2l\) 的函数的 Fourier 级数展开
对于周期为 \(2l\) 的函数 \(f(x)\)，可以在区间 \([-l,l]\) 上展开为 Fourier 级数：
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right).
$$
其中 Fourier 系数为：
$$
a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,
\qquad n=0,1,2,\cdots
$$
$$
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx,
\qquad n=1,2,\cdots
$$
含义
当函数的周期不是 \(2\pi\)，而是 \(2l\) 时，需要把三角函数中的 \(nx\) 改为 \(\frac{n\pi x}{l}\)。
因此，周期为 \(2l\) 的函数的 Fourier 展开式，本质上就是把区间 \([-\pi,\pi]\) 上的公式推广到区间 \([-l,l]\) 上。
others
积化和差与和差化积公式
积化和差公式
$$
\sin\alpha\cos\beta
=
\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right]
$$
$$
\cos\alpha\sin\beta
=
\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right]
$$
$$
\cos\alpha\cos\beta
=
\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right]
$$
$$
\sin\alpha\sin\beta
=
-\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right]
$$
记忆方法: sin co co sin, 正加正减, co co sin sin, 余加负余减
和差化积公式
$$
\sin\alpha+\sin\beta
=
2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
$$
$$
\sin\alpha-\sin\beta
=
2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
$$
$$
\cos\alpha+\cos\beta
=
2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
$$
$$
\cos\alpha-\cos\beta
=
-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
$$
几个常用的展开式
$$
e^x
=
1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots,
\qquad x\in(-\infty,+\infty).
$$
$$
\sin x
=
x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+
\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\cdots,
\qquad x\in(-\infty,+\infty).
$$
$$
\cos x
=
1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+
\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}+\cdots,
\qquad x\in(-\infty,+\infty).
$$
$$
\frac{1}{1-x}
=
1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots,
\qquad |x|<1.
$$
$$
\ln(1+x)
=
x-\frac{x^2}{2}+\cdots+
\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\cdots,
\qquad x\in(-1,1).
$$
$$
(1+x)^\alpha
=
1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+
\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots,
\qquad x\in(-1,1).
$$
Wallis 积分公式
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^m t\cos^n t\,dt
=
\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}
\cdot
\begin{cases}
\frac{\pi}{2}, & m,n\text{ 均为偶数},\\
1, & \text{其余}.
\end{cases}
$$
Comments NOTHING